下面以黎曼積分（Riemann integral）的框架，給出微積分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus, FTC）的精確敘述與嚴謹證明。我會把它拆成兩部分（FTC-I 與 FTC-II），並清楚標出用到的假設。
0. 前置：黎曼積分與兩個基本事實
令 (f:[a,b]\to\mathbb R) 為有界函數。
-
若 (f) 黎曼可積，我們記
[
\int_a^b f(t),dt
]
為其黎曼積分。 -
事實 A（積分的區間估計）：若 (|f(t)|\le M) 於 ([a,b])，則對任意 (u,v\in[a,b]),
[
\left|\int_u^v f(t),dt\right|\le M|v-u|.
]
理由：(\int_u^v f) 的絕對值不超過在長度 (|v-u|) 的區間上，以最大值 (M) 形成的長方形面積 (M|v-u|)（可由上、下和或黎曼和性質嚴格推出）。 -
事實 B（連續 (\Rightarrow) 黎曼可積）：連續函數在閉區間 ([a,b]) 上黎曼可積。
1. 微積分基本定理（第一部分，FTC-I）
定理（FTC-I）
設 (f:[a,b]\to\mathbb R) 黎曼可積。定義
[
F(x)=\int_a^x f(t),dt,\qquad x\in[a,b].
]
則：
-
(F) 在 ([a,b]) 上連續。
-
若 (f) 在某點 (x_0\in(a,b)) 連續，則 (F) 在 (x_0) 可微且
[
F’(x_0)=f(x_0).
]
特別地，若 (f) 在 ([a,b]) 上連續，則 (F) 在 ((a,b)) 上可微且 (F’=f)。
證明（1）(F) 連續
因 (f) 黎曼可積 (\Rightarrow f) 有界，取 (M) 使 (|f(t)|\le M) 於 ([a,b])。
對任意 (x,y\in[a,b])（不妨設 (x>y)），有
[
F(x)-F(y)=\int_a^x f-\int_a^y f=\int_y^x f(t),dt.
]
由事實 A，
[
|F(x)-F(y)|=\left|\int_y^x f(t),dt\right|\le M|x-y|.
]
這表示 (F) 甚至是 Lipschitz 連續，故必連續。證畢。
證明（2）在 (x_0) 連續 (\Rightarrow) (F’(x_0)=f(x_0))
取 (x_0\in(a,b)) 且假設 (f) 在 (x_0) 連續。
對足夠小的 (h)（使 (x_0+h\in(a,b))），
[
\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}
= \frac{1}{h}\int_{x_0}^{x_0+h} f(t),dt.
]
我們要證明此差商極限為 (f(x_0))。考慮差：
[
\frac{1}{h}\int_{x_0}^{x_0+h} f(t),dt - f(x_0)
= \frac{1}{h}\int_{x_0}^{x_0+h} (f(t)-f(x_0)),dt.
]
取絕對值並用事實 A（對函數 (f(t)-f(x_0))）可得
[
\left|\frac{1}{h}\int_{x_0}^{x_0+h} (f(t)-f(x_0)),dt\right|
\le \frac{1}{|h|}\int_{x_0}^{x_0+h} |f(t)-f(x_0)|,dt
\le \sup_{t\in[x_0,x_0+h]}|f(t)-f(x_0)|.
]
（若 (h<0)，區間改為 ([x_0+h,x_0])，同理成立。）
因 (f) 在 (x_0) 連續：對任意 (\varepsilon>0)，存在 (\delta>0) 使得 (|t-x_0|<\delta\Rightarrow |f(t)-f(x_0)|<\varepsilon)。
當 (|h|<\delta) 時，(t) 落在 (x_0) 的 (\delta)-鄰域內，因此
[
\sup_{t\in[x_0,x_0+h]}|f(t)-f(x_0)|<\varepsilon.
]
故
[
\left|\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}-f(x_0)\right|<\varepsilon
\quad(|h|<\delta),
]
這正是
[
\lim_{h\to 0}\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}=f(x_0).
]
因此 (F’(x_0)=f(x_0))。證畢。
2. 微積分基本定理（第二部分，FTC-II）
定理（FTC-II，牛頓–萊布尼茲公式）
設 (f:[a,b]\to\mathbb R) 黎曼可積，且存在函數 (G:[a,b]\to\mathbb R) 使 (G) 在 ((a,b)) 可微並滿足
[
G’(x)=f(x)\quad \text{對所有 }x\in(a,b).
]
則
[
\int_a^b f(t),dt = G(b)-G(a).
]
在一般微積分課本中常用更強但更直觀的版本：若 (f) 在 ([a,b]) 連續，且 (G’=f)，則同樣結論成立。
證明（用平均值定理 + 黎曼和逼近）
取任意分割
[
P:\ a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b,\qquad \Delta x_i=x_i-x_{i-1}.
]
因 (G) 在每段 ([x_{i-1},x_i]) 上連續、在 ((x_{i-1},x_i)) 上可微，由拉格朗日中值定理，存在 (c_i\in(x_{i-1},x_i)) 使
[
G(x_i)-G(x_{i-1})=G’(c_i)\Delta x_i=f(c_i)\Delta x_i.
]
把 (i=1) 到 (n) 相加得
[
G(b)-G(a)=\sum_{i=1}^n f(c_i)\Delta x_i.
]
右邊是一個以取樣點 (c_i) 組成的黎曼和。
因 (f) 黎曼可積，依黎曼可積的定義：對任意 (\varepsilon>0)，存在 (\delta>0)，使得只要分割的網格大小
[
|P|:=\max_i \Delta x_i<\delta,
]
則任取各段取樣點 (t_i\in(x_{i-1},x_i))，都有
[
\left|\sum_{i=1}^n f(t_i)\Delta x_i-\int_a^b f(t),dt\right|<\varepsilon.
]
特別地，取 (t_i=c_i)（正是中值定理給的點），便得到
[
\left|,\bigl(G(b)-G(a)\bigr)-\int_a^b f(t),dt,\right|
=\left|\sum_{i=1}^n f(c_i)\Delta x_i-\int_a^b f(t),dt\right|<\varepsilon
]
（當 (|P|<\delta) 時）。
由於 (\varepsilon) 任意，必有
[
G(b)-G(a)=\int_a^b f(t),dt.
]
證畢。
3. 綜合：為什麼這兩部分合起來就是「基本定理」
若 (f) 連續，令
[
F(x)=\int_a^x f(t),dt.
]
FTC-I 告訴你 (F’(x)=f(x))，所以 (F) 是 (f) 的一個原始函數（反導函數）。
再用 FTC-II（把 (G) 換成任何滿足 (G’=f) 的原始函數），得到
[
\int_a^b f(t),dt = F(b)-F(a).
]
這就是經典的牛頓–萊布尼茲公式：
「定積分可以用任一個反導函數的端點差來計算」。
如果你希望我把上面版本提升到更現代、也更強的 Lebesgue/絕對連續版本（例如：(f\in L^1\Rightarrow F(x)=\int_a^x f) 幾乎處處可微且 (F’=f) a.e.；以及 (F) 絕對連續 (\Rightarrow \int F’=F(b)-F(a))），我也可以用同樣嚴謹度寫出完整敘述與證明。